そもそもは電磁流体力学 (Magnetohydrodynamics; MHD) の基礎方程式が Galilei 変換に対してどう振る舞うか、特に共変かどうかについて調べていたところ、その過程で Maxwell 方程式の非相対論的極限が複数存在するという話に出会った。この内容について整理したという G. Manfredi (2013) を読んで理解はしたが、ちょっと納得のいかない議論があったので、ジーピーティーくんと議論しながらもう少し整った形式でまとめることを試みた。なお結局は S. E. Kruger (2019) と殆ど同じ内容になったけれども、言語が違うとか、私なりの躓きポイントが書いてあるとか、まぁ相違点はあるだろうからここに置いておく。

G. Manfredi (2013) の議論

Maxwell 方程式の無次元化

Maxwell 方程式は SI 単位系で以下のように書かれる。

∇⋅E=0,∇⋅B=0,∇×E=−∂B∂t,∇×B=μ0j+1c2∂E∂t.\begin{gather} \nabla \cdot \vb{E} = 0, \\ \nabla \cdot \vb{B} = 0, \\ \nabla \times \vb{E} = - \frac{\pt \vb{B}}{\pt t}, \\ \nabla \times \vb{B} = \mu_0 \vb{j} + \frac{1}{c^2} \frac{\pt \vb{E}}{\pt t}. \end{gather}

これを無次元化する。その理由は Manfredi によれば次の通りである。

But any physically meaningful result should not depend on the units in which the equations are written, and a proper limit should be obtained by making use of diminsionless quantities.

確かに、何らかの量が非常に小さいと述べるときには同じ次元の別の量に比べて小さいというように述べるのだから、それはつまり無次元の量を考えていることになる。ふむふむ、と納得しておく。

無次元化のために距離、時間、電場、磁場、電荷密度、電流密度のそれぞれについて適当な大きさの量を導入する。つまり

L, T, Eˉ, Bˉ, ρˉ, jˉ\begin{equation} L, \ T, \ \bar{E}, \ \bar{B}, \ \bar{\rho}, \ \bar{j} \end{equation}

を規格化のための量として用いる。さらに V=L/TV = L / T とする。ただし Eˉ=cBˉ\bar{E} = c \bar{B} と jˉ=Vρˉ\bar{j} = V \bar{\rho} を課す。これによって

x=Lx~, t=Tt~, E=EˉE~, B=BˉB~, ρ=ρˉρ~, j=jˉj~\begin{equation} x = L \tilde{x}, \ t = T \tilde{t}, \ \vb{E} = \bar{E} \tilde{\vb{E}}, \ \vb{B} = \bar{B} \tilde{\vb{B}}, \ \rho = \bar{\rho} \tilde{\rho}, \ \vb{j} = \bar{j} \tilde{\vb{j}} \end{equation}

と書けばティルダの付いている量は無次元量であり、これらを用いて Maxwell 方程式は次のように書き直される。

∇~⋅E~=1αρ~,∇~⋅B~=0,∇~×E~=−β∂B~∂t~,∇~×B~=βα+β∂E~∂t.\begin{gather} \tilde{\nabla} \cdot \tilde{\vb{E}} = \frac{1}{\alpha} \tilde{\rho}, \\ \tilde{\nabla} \cdot \tilde{\vb{B}} = 0, \\ \tilde{\nabla} \times \tilde{\vb{E}} = - \beta \frac{\pt \tilde{\vb{B}}}{\pt \tilde{t}}, \\ \tilde{\nabla} \times \tilde{\vb{B}} = \frac{\beta}{\alpha} + \beta \frac{\pt \tilde{\vb{E}}}{\pt t}. \end{gather}

ここに

α≔ϵ0EˉLρˉ,β≔Vc\begin{equation} \alpha \coloneqq \frac{\epsilon_0 \bar{E}}{L \bar{\rho}}, \quad \beta \coloneqq \frac{V}{c} \end{equation}

である。後者は特殊相対論で見慣れた β\beta である。前者について Manfredi は、ちょっとした式変形の後に α=(λD/L)2\alpha = (\lambda_{\text{D}} / L)^2 を導いている。この λD\lambda_{\text{D}} は Debye 長であり、その意味は……説明が面倒なので Manfredi を引用する。以下の文章で Manfredi が “this ratio” と言っているのは λD/L\lambda_{\text{D}} / L のことである。

In plasma physics, this ratio is known as the “quasi-neutrality” parameter and it is small when deviations from local charge neutrality are negligiblt. This is because, in most plasmas, charge imbalance can persist only on length scales shorter than the Debye length.

要するに、もし α\alpha が小さいならば、それは着目している空間スケール ∼L \sim L で電荷の偏りが殆ど無いことを意味している。

以下ではこれらのパラメータ α, β\alpha, \ \beta の大きさ（オーダー）を決めることで Maxwell 方程式の極限を得ていく。なお手間を省くためにティルダは省略する。

電気的極限 (electric limit)

さて式 (7) から (10) より、まずは Maxwell 方程式の電気的極限を得たい。先取りしてしまうと、これは

E≫cB\begin{equation} E \gg c B \end{equation}

が成立するような非相対論的極限である。この極限は ρ∼1, j∼1\rho \sim 1, \ j \sim 1 の下で（サラッと書いたが、この ρ\rho と jj の条件の話は後で詳しく扱う）

β≪1, α∼1\begin{equation} \beta \ll 1, \ \alpha \sim 1 \end{equation}

とすることで手に入る。実際、次のようにする。微小なパラメータとして ϵ∼β\epsilon \sim \beta を導入し

E=E0+ϵE1+ϵ2E2+⋯B=B0+ϵB1+ϵ2B2+⋯\begin{gather} \vb{E} = \vb{E}_0 + \epsilon \vb{E}_1 + \epsilon^2 \vb{E}_2 + \cdots \\ \vb{B} = \vb{B}_0 + \epsilon \vb{B}_1 + \epsilon^2 \vb{B}_2 + \cdots \end{gather}

と展開する。ここで両式の第 1 項、第 2 項などはどれも微小量の 0 次や 1 次である。つまり E0\vb{E}_0 とか E1\vb{E}_1 とか B0, B1\vb{B}_0, \ \vb{B}_1 などは全て微小量の 0 次であることに注意しておく。上の 2 つの展開式を式 (7) から式 (10) に代入したのち、式 (13) に注意しながら ϵ\epsilon の 0 次と 1 次の式を取り出すと次の通りになる。

∇⋅E0=1αρ,∇⋅E1=0,∇⋅B0=0,∇⋅B1=0,∇×E0=0,∇×E1=−∂B0∂t,∇×B0=0,∇×B1=1αj+∂E0∂t.\begin{gather} \nabla \cdot \vb{E}_0 = \frac{1}{\alpha} \rho, \quad \nabla \cdot \vb{E}_1 = 0, \\[.5em] \nabla \cdot \vb{B}_0 = 0, \quad \nabla \cdot \vb{B}_1 = 0, \\[.5em] \nabla \times \vb{E}_0 = \vb{0}, \quad \nabla \times \vb{E}_1 = - \frac{\pt \vb{B}_0}{\pt t}, \\[.5em] \nabla \times \vb{B}_0 = \vb{0}, \quad \nabla \times \vb{B}_1 = \frac{1}{\alpha} \vb{j} + \frac{\pt \vb{E}_0}{\pt t}. \end{gather}

ここで無限遠に於いて電場も磁場も消えることを要求すると B0\vb{B}_0 が消え1、その結果 E1\vb{E}_1 も消えるので、結局は電場と磁場が

E=E0+ϵE1+⋯=O(1),B=ϵB1+⋯=O(ϵ)\begin{gather} \vb{E} = \vb{E}_0 + \epsilon \vb{E}_1 + \cdots = \mathcal{O}(1), \\ \vb{B} = \epsilon \vb{B}_1 + \cdots = \mathcal{O}(\epsilon) \\ \end{gather}

となり2、また Maxwell 方程式は

∇⋅E0=1αρ,∇⋅B1=0,∇×E0=0,∇×B1=1αj+∂E0∂t\begin{gather} \nabla \cdot \vb{E}_0 = \frac{1}{\alpha} \rho, \\ \nabla \cdot \vb{B}_1 = 0, \\ \nabla \times \vb{E}_0 = \vb{0}, \\ \nabla \times \vb{B}_1 = \frac{1}{\alpha} \vb{j} + \frac{\pt \vb{E}_0}{\pt t} \end{gather}

となる。これは通常の Maxwell 方程式から Farrady の誘導起電力の項を落とした形になっている。

これがなぜ「電気的」であるのかを確認する。わかりやすさのため、以下では次元ありの量には Ep\vb{E}_{\text{p}} のような添字を付けることにする（p は physics の p の気持ちである）。最初に Lorentz 力を見ることにしよう。Lorentz 力は

Fp=ρpEp+jp×Bp\begin{equation} \vb{F}_{\text{p}} = \rho_{\text{p}} \vb{E}_{\text{p}} + \vb{j}_{\text{p}} \times \vb{B}_{\text{p}} \end{equation}

と書けるのであった。これを Fˉ=ρˉEˉ\bar{F} = \bar{\rho} \bar{E} で割って無次元化し、さらに式 (20) と (21) の展開を代入すると

F=ρE0+ϵ2j0×B1+⋯\begin{equation} \vb{F} = \rho \vb{E}_0 + \epsilon^2 \vb{j}_0 \times \vb{B}_1 + \cdots \end{equation}

となる。つまり荷電粒子に働く力は電場による力で支配されている。さらに電場と磁場の強さを比べると

∣Ep∣∣Bp∣=EˉBˉ⋅E0+ϵE1+⋯ϵB1+⋯∼c⋅E0ϵB1∴ c∣Bp∣∣Ep∣∼ϵ≪1\begin{equation} \frac{\lvert \vb{E}_{\text{p}} \rvert}{\lvert \vb{B}_{\text{p}} \rvert} = \frac{\bar{E}}{\bar{B}} \cdot \frac{E_0 + \epsilon E_1 + \cdots}{\epsilon B_1 + \cdots} \sim c \cdot \frac{E_0}{\epsilon B_1} \quad \therefore \ \frac{c \lvert \vb{B}_{\text{p}} \rvert}{\lvert \vb{E}_{\text{p}} \rvert} \sim \epsilon \ll 1 \end{equation}

であるから、確かに式 (12) が再現されて、電場の方が強いということが言える。こういった意味で式 (20) から式 (25) は Maxwell 方程式の電気的極限と呼ばれる。

またこの極限に於いて、速度 Up\vb{U}_{\text{p}} で動く別の慣性系で電磁場を見たときの変換則は次のようにしてわかる。非相対論的なので Up/c∼β∼ϵ≪1U_{\text{p}}/c \sim \beta \sim \epsilon \ll 1 としておく。まず電磁場の Lorentz 変換を低速で展開すると

Ep′=Ep+Up×Bp+⋯ ,Bp′=Bp−1c2Up×Ep+⋯ .\begin{gather} \vb{E}_{\text{p}}' = \vb{E}_{\text{p}} + \vb{U}_{\text{p}} \times \vb{B}_{\text{p}} + \cdots, \\ \vb{B}_{\text{p}}' = \vb{B}_{\text{p}} - \frac{1}{c^2} \vb{U}_{\text{p}} \times \vb{E}_{\text{p}} + \cdots. \end{gather}

電場と磁場それぞれの変化分はだいたい

δEpEp≃UpBpEp=UpccBpEp,δBpBp≃1c2UpEpBp=UpcEpcBp\begin{gather} \frac{\delta E_{\text{p}}}{E_{\text{p}}} \simeq \frac{U_{\text{p}} B_{\text{p}}}{E_{\text{p}}} = \frac{U_{\text{p}}}{c} \frac{c B_{\text{p}}}{E_{\text{p}}}, \\[.5em] \frac{\delta B_{\text{p}}}{B_{\text{p}}} \simeq \frac{1}{c^2} \frac{U_{\text{p}} E_{\text{p}}}{B_{\text{p}}} = \frac{U_{\text{p}}}{c} \frac{E_{\text{p}}}{c B_{\text{p}}} \end{gather}

であって、これと式 (28) および Up/c∼ϵU_{\text{p}}/c \sim \epsilon を考慮すると EpE_{\text{p}} の変化分は O(ϵ2)\mathcal{O}(\epsilon^2) であり BpB_{\text{p}} の変化分は O(1)\mathcal{O}(1) であることがわかる。つまり

Ep→Ep′≃Ep,Bp→Bp′≃Bp−1c2Up×Ep,\begin{align} \vb{E}_{\text{p}} &\to \vb{E}_{\text{p}}' \simeq \vb{E}_{\text{p}}, \\ \vb{B}_{\text{p}} &\to \vb{B}_{\text{p}}' \simeq \vb{B}_{\text{p}} - \frac{1}{c^2} \vb{U}_{\text{p}} \times \vb{E}_{\text{p}}, \end{align}

と変換されるという訳である。

さらに電荷密度 ρp\rho_{\text{p}} と電流密度 jp\vb{j}_{\text{p}} の変換も同様にわかる。やはり低速で展開すると

ρp′=ρp−1c2Up⋅jp+⋯ ,jp′=jp−ρpUp+⋯\begin{gather} \rho_{\text{p}}' = \rho_{\text{p}} - \frac{1}{c^2} \vb{U}_{\text{p}} \cdot \vb{j}_{\text{p}} + \cdots, \\ \vb{j}_{\text{p}}' = \vb{j}_{\text{p}} - \rho_{\text{p}} \vb{U}_{\text{p}} + \cdots \\ \end{gather}

だから、変化分はだいたい

δρpρp≃1c2Upjpρp=UpcVcjpρpVδjpjp≃ρpUpjp=UpVρpVjp\begin{gather} \frac{\delta \rho_{\text{p}}}{\rho_{\text{p}}} \simeq \frac{1}{c^2} \frac{U_{\text{p}} j_{\text{p}}}{\rho_{\text{p}}} = \frac{U_{\text{p}}}{c} \frac{V}{c} \frac{j_{\text{p}}}{\rho_{\text{p}} V} \\ \frac{\delta j_{\text{p}}}{j_{\text{p}}} \simeq \frac{\rho_{\text{p}} U_{\text{p}}}{j_{\text{p}}} = \frac{U_{\text{p}}}{V} \frac{\rho_{\text{p}} V}{j_{\text{p}}} \end{gather}

である。ここで Up/c∼V/c∼ϵU_{\text{p}}/c \sim V/c \sim \epsilon をまず用い、加えて ρ\rho と jj を O(1)\mathcal{O}(1) としたことから ρp∼ρˉ\rho_{\text{p}} \sim \bar{\rho} と jp∼jˉj_{\text{p}} \sim \bar{j} が言えるので、これと jˉ=Vρˉ\bar{j} = V \bar{\rho} とを利用すると、最終的に ρ\rho の変化分は O(ϵ2)\mathcal{O}(\epsilon^2) であり、一方で jj の変化分は O(1)\mathcal{O}(1) であることがわかる。つまるところ電荷密度と電流密度の変換は

ρp→ρp′≃ρpjp→jp′≃jp−ρpUp\begin{align} \rho_{\text{p}} &\to \rho_{\text{p}}' \simeq \rho_{\text{p}} \\ \vb{j}_{\text{p}} &\to \vb{j}_{\text{p}}' \simeq \vb{j}_{\text{p}} - \rho_{\text{p}} \vb{U}_{\text{p}} \end{align}

となる。

磁気的極限 (magnetic limit)

続いては磁気的極限を扱う。これは

E≪cB\begin{equation} E \ll c B \end{equation}

であるような極限である。これを得るには

β∼α∼ϵ≪1, β/α∼1\begin{equation} \beta \sim \alpha \sim \epsilon \ll 1, \ \beta/\alpha \sim 1 \end{equation}

を要求する。ただし電荷密度と電流密度は

ρ=ϵ2ρ2=O(ϵ2), j=O(1)\begin{equation} \rho = \epsilon^2 \rho_2 = \mathcal{O}(\epsilon^2), \ j = \mathcal{O}(1) \end{equation}

とする。ρ\rho の方はとても奇妙な設定に見えるけれども、これは α∼ϵ\alpha \sim \epsilon としたことで Gauss の法則によって O(1)\mathcal{O}(1) の項が消えてしまうこと、また O(ϵ)\mathcal{O}(\epsilon) の項は別にあっても良いのだがつまらないこととに由来する（やはりこの話題には後できちんと戻ってくる）。

以上の設定の下で電気的極限の場合と全く同じことをすると、電磁場は

E=ϵE1+⋯B=B0+ϵB1+⋯\begin{gather} \vb{E} = \epsilon \vb{E}_1 + \cdots \\ \vb{B} = \vb{B}_0 + \epsilon \vb{B}_1 + \cdots \end{gather}

となって、またこれら 0 次と 1 次の項が満たす Maxwell 方程式は

∇⋅E1=ρ2∇⋅B0=0∇×E1=−∂B0∂t∇×B0=j\begin{gather} \nabla \cdot \vb{E}_1 = \rho_2 \\ \nabla \cdot \vb{B}_0 = 0 \\ \nabla \times \vb{E}_1 = - \frac{\pt \vb{B}_0}{\pt t} \\ \nabla \times \vb{B}_0 = \vb{j} \end{gather}

となる。これは Ampère-Maxwell の式の変位電流を落とした形になっている3。

Lorentz 力と電磁場の強さ、および変換則も、まぁ殆ど明らかだけれども書くだけ書いておく。まず

F=ϵj×B0+ϵ3ρ2E1+⋯\begin{equation} \vb{F} = \epsilon \vb{j} \times \vb{B}_0 + \epsilon^3 \rho_2 \vb{E}_1 + \cdots \end{equation}

である。また

∣E∣∣B∣=EˉBˉ⋅ϵE1+⋯B0+ϵB1+⋯∼c⋅λE1B0∴ ∣E∣c∣B∣∼ϵ≪1\begin{equation} \frac{\lvert \vb{E} \rvert}{\lvert \vb{B} \rvert} = \frac{\bar{E}}{\bar{B}} \cdot \frac{\epsilon E_1 + \cdots}{B_0 + \epsilon B_1 + \cdots} \sim c \cdot \frac{\lambda E_1}{B_0} \quad \therefore \ \frac{\lvert \vb{E} \rvert}{c \lvert \vb{B} \rvert} \sim \epsilon \ll 1 \end{equation}

である。従ってやはり磁場が支配的であって、ゆえに「磁気的」と呼ばれる。変換は式 (31) と (32) に対して式 (51) を用いることで

Ep→Ep′≃Ep+Up×Bp,Bp→Bp′≃Bp\begin{align} \vb{E}_{\text{p}} &\to \vb{E}_{\text{p}}' \simeq \vb{E}_{\text{p}} + \vb{U}_{\text{p}} \times \vb{B}_{\text{p}}, \\ \vb{B}_{\text{p}} &\to \vb{B}_{\text{p}}' \simeq \vb{B}_{\text{p}} \end{align}

となる。電荷密度と電流密度では、式 (37) と (38) に ρ=O(ϵ2)\rho = \mathcal{O}(\epsilon^2) と j=O(1)j = \mathcal{O}(1) とを課して

ρp→ρp′≃ρp−1c2Up⋅jpjp→jp′≃jp\begin{align} \rho_{\text{p}} &\to \rho_{\text{p}}' \simeq \rho_{\text{p}} - \frac{1}{c^2} \vb{U}_{\text{p}} \cdot \vb{j}_{\text{p}} \\ \vb{j}_{\text{p}} &\to \vb{j}_{\text{p}}' \simeq \vb{j}_{\text{p}} \end{align}

が得られる。

両極限のGalilei 共変性

元の Maxwell 方程式は Lorentz 共変であった。一方で電気的極限での Maxwell 方程式と磁気的極限での Maxwell 方程式は、その導出の過程で β≪1\beta \ll 1 を取っている非相対論的極限だから、素朴には Galilei 共変であることが期待される。そして実際にそうであることは確認するに十分価値があるだろう4。なおこの小節では全ての文字は物理的な次元付きの量を表すものとする。

まず電気的極限での Maxwell 方程式は以下であった。

∇⋅E=ρϵ0,∇⋅B=0,∇×E=0,∇×B=μ0j+1c2∂E∂t.\begin{gather} \nabla \cdot \vb{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, \\ \nabla \cdot \vb{B} = 0, \\ \nabla \times \vb{E} = \vb{0}, \\ \nabla \times \vb{B} = \mu_0 \vb{j} + \frac{1}{c^2} \frac{\pt \vb{E}}{\pt t}. \end{gather}

ここで Galilei ブーストは次の通りである。

x′=x−Ut,t′=t.\begin{equation} \vb{x}' = \vb{x} - \vb{U} t, \quad t' = t. \end{equation}

このとき微分演算子は

∇′=∇,∂∂t′=∂∂t+U⋅∇\begin{equation} \nabla' = \nabla, \quad \frac{\pt}{\pt t'} = \frac{\pt}{\pt t} + \vb{U} \cdot \nabla \end{equation}

と変換し、また電磁場と電荷密度および電流密度は

E′=E,B′=B−1c2U×E,ρ′=ρ,j′=j−ρU\begin{gather} \vb{E}' = \vb{E}, \quad \vb{B}' = \vb{B} - \frac{1}{c^2} \vb{U} \times \vb{E}, \\ \rho' = \rho, \quad \vb{j}' = \vb{j} - \rho \vb{U} \end{gather}

と変換する。従って式 (56) と (57) と (58) は自明に Galilei 共変である。式 (59) の左辺は

∇′×B′=∇×B−1c2∇×(U×E)=∇×B−ρϵ0c2U+1c2(U⋅∇)E\begin{equation} \nabla' \times \vb{B}' = \nabla \times \vb{B} - \frac{1}{c^2} \nabla \times (\vb{U} \times \vb{E}) = \nabla \times \vb{B} - \frac{\rho}{\epsilon_0 c^2} \vb{U} + \frac{1}{c^2} (\vb{U} \cdot \nabla) \vb{E} \end{equation}

とわかる。最後の等号では式 (56) を用いた。一方で右辺は

μ0j′+1c2∂E′∂t′=μ0j−μ0ρU+1c2∂E∂t+1c2(U⋅∇)E\begin{equation} \mu_0 \vb{j}' + \frac{1}{c^2} \frac{\pt \vb{E}'}{\pt t'} = \mu_0 \vb{j} - \mu_0 \rho \vb{U} + \frac{1}{c^2} \frac{\pt \vb{E}}{\pt t} + \frac{1}{c^2} (\vb{U} \cdot \nabla) \vb{E} \end{equation}

だから、確かに Galilei 共変になっている。

磁気的極限の方も全く同様にできる。LaTeX\LaTeX を打つのが面倒なのでこちらは省略する。

何が非相対論的なのか？

少しばかり寄り道をしてこの点についてメモを残しておく。物体の運動を考えている場合には、その運動が非相対論的というのは物体の速さが光速よりずっと小さいという意味だった。一方で Maxwell 方程式の非相対論的極限というのは、当然のことながら、ゆめゆめ、電磁波の伝播速度が光速より小さいという意味ではない。そんなバカなことがあったら困る。そうではなくて、これは電荷および電流、つまり電磁場のソースが光速に比して十分ゆっくり時間変化するという意味である。

このことを理解するには、例えば大きさ 1 m1 \, \mathrm{m} のコンデンサに 1 s1 \, \mathrm{s} かけて電荷を蓄えていくような状況を考えると良いだろう。電荷を蓄えていくにつれて電磁場（この場合は特に電場）がどう変化するか、という点に着目するとき、系の典型的な空間スケールと時間スケールはそれぞれ L∼1 mL \sim 1 \, \mathrm{m} と T∼1 sT \sim 1 \, \mathrm{s} である5。電磁場が装置を横切るのにかかる時間はだいたい 3 ns 3 \, \mathrm{ns} だから、ソースの時間変化に対して場の変化は一瞬で伝わる。これが非相対論的 β≪1\beta \ll 1 という言葉の意味するところである6。このとき電磁場は、その一瞬々々のソースの分布に対応する静電磁場の形を取っていて、その静電磁場がソースとともに時間変化すると見做せる訳である。

それとこれは私も混乱していたところなのだが、上述した時空間スケールで定まる速さのスケール VV は Galilei 変換の速さ UU とは全くの別物である。非相対論的極限を考える上では Galilei 変換云々は全然不要で、非相対論的な Maxwell 方程式が Galilei 共変かどうかを考える際に UU が登場するのである。だから本当は U=Vu\vb{U} = V \vb{u} などとして無次元の Galilei ブースト速度 u\vb{u} を導入するべきだったところ、面倒で省いてしまった。気になる場合は Manfredi の Section 6 を見てもらえれば良いと思われる。

Manfredi の議論への不満

話を電気的極限と磁気的極限の導出へと戻す。

前々節にまとめた Manfredi の議論は、電磁気学の非相対論的極限を初めて整理した M. Le Bellac & J. M. Lévy-Leblond (1973) に比べると、確かにわかりやすい。Bellac と Lévy-Leblond は Maxwell 方程式から突然 Farrady の誘導起電力の項と変位電流の項とを取っ払って、それが電気的あるいは磁気的であることを述べ、そして Galilei 共変であることを証明している。こういうことをされると、ではそれらの項を落とすという判断はどこから来たのかというのが気になってくる。それに比すれば、方程式を無次元化することで自然に現れるパラメータの極限を取る、という Manfredi の方法はとても機械的で、そしてそうでありながら極限の意味も見て取れるので7、ずいぶんと整理された印象を受ける。

それでもなおよくわからない点や気になる点がある。簡単なものを挙げると次の通りである。

  • 無次元化の際に課した Eˉ=cBˉ\bar{E} = c \bar{B} と jˉ=Vρˉ\bar{j} = V \bar{\rho} は妥当なのか。
  • E\vb{E} と B\vb{B} だけでなく ρ\rho と j\vb{j} も ϵ\epsilon で展開して良いのではないか。
  • ρ\rho と j\vb{j} は展開しなかったのに、磁気的極限で突然 ρ=ϵ2ρ2\rho = \epsilon^2 \rho_2 としているのは一貫性を欠いていないか。

そして何より問題なのは α∼1\alpha \sim 1 とする電気的極限の議論に於いても、ソースを ρ=ϵ2ρ2\rho = \epsilon^2 \rho_2 かつ j\vb{j} が O(1)\mathcal{O}(1) であるとすることで磁気的極限の Maxwell 方程式が出てきてしまうということである。もちろん逆も可能である。つまり Manfredi の真似をして電荷密度や電流密度のオーダーをいじると α\alpha のオーダーに関係無く両方の極限が得られてしまうのであって……だとすると α\alpha は重要ではないのでは、という気がしてくる。

こういう訳だから、もう少し整理して Maxwell 方程式の非相対論的極限を扱えないだろうか、と私は考えた。その結果をまとめたのが次節以降の諸々になっている。なお冒頭で述べた通りこのまとめ方は S. E. Kruger (2019) と殆ど同じものになってしまったので、別に新規性とかは無い。ただ Kruger のものより少しばかり見やすいとは思う。

本編

Maxwell 方程式の無次元化

物事はやはり無次元化から始まる。使うのは

L, T, V=L/T, Eˉ, Bˉ, ρˉ, jˉ\begin{equation} L, \ T, \ V = L/T, \ \bar{E}, \ \bar{B}, \ \bar{\rho}, \ \bar{j} \end{equation}

である。ただし Manfredi が課していた Eˉ=cBˉ\bar{E} = c \bar{B} と jˉ=Vρˉ\bar{j} = V \bar{\rho} は課さないでおく。すると Maxwell 方程式は（もうティルダは面倒なので書かないことにして）

∇⋅E=1αρ,∇⋅B=0,∇×E=−βξ∂B∂t,∇×B=κξαj+βξ∂E∂t\begin{gather} \nabla \cdot \vb{E} = \frac{1}{\alpha} \rho, \\ \nabla \cdot \vb{B} = 0, \\ \nabla \times \vb{E} = - \frac{\beta}{\xi} \frac{\pt \vb{B}}{\pt t}, \\ \nabla \times \vb{B} = \frac{\kappa \xi}{\alpha} \vb{j} + \beta \xi \frac{\pt \vb{E}}{\pt t} \end{gather}

となる。ここに

α≔ϵ0EˉLρˉ,β≔Vc,κ=jˉcρˉ,ξ≔EˉcBˉ\begin{equation} \alpha \coloneqq \frac{\epsilon_0 \bar{E}}{L \bar{\rho}}, \quad \beta \coloneqq \frac{V}{c}, \quad \kappa = \frac{\bar{j}}{c \bar{\rho}}, \quad \xi \coloneqq \frac{\bar{E}}{c \bar{B}} \end{equation}

とした。また Manfredi の議論を取り上げたところでは書かなかったけれども、連続の式は

∂ρ∂t+κβ∇⋅j=0\begin{equation} \frac{\pt \rho}{\pt t} + \frac{\kappa}{\beta} \nabla \cdot \vb{j} = 0 \end{equation}

となる。式 (67) から (72) を眺めると Manfredi の条件 Eˉ=cBˉ\bar{E} = c \bar{B} および jˉ=Vρˉ\bar{j} = V \bar{\rho} は ξ=1\xi = 1 および κ=β\kappa = \beta であったことがわかる。しかし今は特にそうする必要も無いだろう。寧ろ後の議論のためにはそうでない方がありがたい……気がしている。

上の α\alpha と β\beta の物理的な意味はすでに述べ済ませたから、ここでは残りの κ\kappa と ξ\xi について本当に軽く触れておく。本当に軽くとはどのくらいかというと、単に κ\kappa は 4 元電流の空間成分と時間成分の比であり、一方 ξ\xi は電磁場テンソルの電場部分と磁場部分の比である、と書いて終わりにするということである8。──いや、流石に雑すぎると自分でも思っているのだけれども、どうもここについてはまだ私の中でさえ整理しきれていないので、次の記事くらいでまとめようかと思っている。

さてこれから上で定義した β\beta などのオーダーに基づいた議論をしていくのだが、その際に「Manfredi の議論への不満」で書いたような、主要項を好きなように取ることに由来するわかりづらさが生まれないようにしたい。そこで式 (66) に設定した諸量が全て実際の物理量と同じオーダーであることを要求する。つまり今後は ρ=ϵ2ρ2\rho = \epsilon^2 \rho_2 などの取り方は許されず、全てが ρ=ρ0+ϵρ1+…\rho = \rho_0 + \epsilon \rho_1 + \ldots のように 0 次項から始まるということである。すると式 (67) は ∇, E, ρ\nabla, \ \vb{E}, \ \rho が全て O(1)\mathcal{O}(1) であることから α∼1\alpha \sim 1 となる。こうして式 (70) の α\alpha も消える。

微小展開

考えるのは非相対論的な極限なのだから、ここで微小量 ϵ\epsilon を

ϵ∼β≪1\begin{equation} \epsilon \sim \beta \ll 1 \end{equation}

を満たすものとして導入する。そして残りのパラメータを

κ∼ϵk,ξ∼ϵx\begin{equation} \kappa \sim \epsilon^k, \quad \xi \sim \epsilon^x \end{equation}

とする。kk と xx は整数を想定するが、別に自然数である必要は無い。00 でも、あるいは負の数でも全く構わない。これらを用いると式 (67) から (70) および式 (72) は次のように簡単にまとめられる。

∇⋅E∼ρ,∇⋅B=0,∇×E∼ϵ1−x∂E∂t,∇×B∼ϵk+xj+ϵ1+x∂E∂t,∂ρ∂t∼−ϵk−1∇⋅j.\begin{gather} \nabla \cdot \vb{E} \sim \rho, \\ \nabla \cdot \vb{B} = 0, \\ \nabla \times \vb{E} \sim \epsilon^{1-x} \frac{\pt \vb{E}}{\pt t}, \\ \nabla \times \vb{B} \sim \epsilon^{k+x} \vb{j} + \epsilon^{1+x} \frac{\pt \vb{E}}{\pt t}, \\ \frac{\pt \rho}{\pt t} \sim - \epsilon^{k-1} \nabla \cdot \vb{j}. \end{gather}

これを微小展開と呼ぶことは普通しないけれども、まぁとにかくだいぶスッキリしたように思われる。改めて注意してほしいのは ϵ\epsilon 以外は全て O(1)\mathcal{O}(1) の量だということである。例えば上の式の左辺は全て O(1)\mathcal{O}(1) になっている。

さて式 (77) と (78) をよく見て、特に Farraday の誘導起電力（式 (77) の右辺）と Maxwell の変位電流（式 (78) の右辺第 2 項）とを見比べると、これらが同時に O(1)\mathcal{O}(1) となることは無いとわかる。そうというのはϵ1−x⋅ϵ1+x=ϵ2≪1\epsilon^{1-x} \cdot \epsilon^{1+x} = \epsilon^2 \ll 1 だからで、従って両者のどちらを O(1)\mathcal{O}(1) にするのか（またはどちらもしないのか）という選択は私たちに委ねられている。実のところ、このどちらを選ぶかによって電気的極限と磁気的極限のどちらを考えるのかが決まるのである。そのことを以下で眺める。

電気的極限

最初に Maxwell の変位電流を O(1)\mathcal{O}(1) で残すことにしよう。つまり

x=−1i.e.βξ∼ϵ0∼1\begin{equation} x = -1 \quad \text{i.e.} \quad \beta \xi \sim \epsilon^0 \sim 1 \end{equation}

とする。このとき誘導起電力の項は β/ξ∼ϵ2\beta/\xi \sim \epsilon^2 という微小な量になって消える。また直ちに

EˉcBˉ=ξ∼1ϵ≫1∴ Eˉ≫cBˉ\begin{equation} \frac{\bar{E}}{c \bar{B}} = \xi \sim \frac{1}{\epsilon} \gg 1 \quad \therefore \ \bar{E} \gg c \bar{B} \end{equation}

を得る。バー付きの値は実際の量と同じオーダーにすると決めたのだから、これは電場が磁場よりも強いことを意味しており、すなわち電気的極限であることを示す。さらに式 (78) の右辺第 1 項の電流の項を O(1)\mathcal{O}(1) で残すことにすると k+x=0k + x = 0 より

k=1i.e.κ∼β\begin{equation} k = 1 \quad \text{i.e.} \quad \kappa \sim \beta \end{equation}

であって

jˉcρˉ=κ∼ϵ≪1∴ jˉ≪cρˉ\begin{equation} \frac{\bar{j}}{c \bar{\rho}} = \kappa \sim \epsilon \ll 1 \quad \therefore \ \bar{j} \ll c \bar{\rho} \end{equation}

が得られる。これは Manfredi が Lorentz 力について議論していたことをより簡潔に表したものである。あるいはもっと単純に、電場が強く磁場が弱いのは電荷がほとんど止まっていて電流が無いからである、とも言い換えられるかもしれない。

連続の式は

∂ρ∂t∼−∇⋅j\begin{equation} \frac{\pt \rho}{\pt t} \sim - \nabla \cdot \vb{j} \end{equation}

となる。こちらは電気的極限だとあまり面白味が無い。

磁気的極限

次は Farraday の誘導起電力を O(1)\mathcal{O}(1) で残すことにしよう。すなわち

x=1i.e.β/ξ∼ϵ0∼1\begin{equation} x = 1 \quad \text{i.e.} \quad \beta/\xi \sim \epsilon^0 \sim 1 \end{equation}

とする。この場合には逆に変位電流の項が ϵ2\epsilon^2 のオーダーになって消える。電場と磁場の強さの比は

EˉcEˉ=ξ∼ϵ≪1∴ Eˉ≪cBˉ\begin{equation} \frac{\bar{E}}{c \bar{E}} = \xi \sim \epsilon \ll 1 \quad \therefore \ \bar{E} \ll c \bar{B} \end{equation}

であって、つまり磁気的極限になっている。また電流の項をやはり O(1)\mathcal{O}(1) で残すとすると

k=−1i.e.κ∼1/β\begin{equation} k = -1 \quad \text{i.e.} \quad \kappa \sim 1/\beta \end{equation}

となって、ここから

jˉcρˉ=κ∼1ϵ≫1∴ jˉ≫cρˉ\begin{equation} \frac{\bar{j}}{c \bar{\rho}} = \kappa \sim \frac{1}{\epsilon} \gg 1 \quad \therefore \ \bar{j} \gg c \bar{\rho} \end{equation}

であることがわかる。こちらは要するに、電荷は無いが電流はあるので磁場が強く電場が弱いということである。電荷が無いのに電流が流れているというのはちょっと変に聞こえるかもしれないけれども、何ということはなくて、正電荷と負電荷が同程度の密度で存在して逆向きに動いていると思えば良い。例えば導線を流れる電流とか準中性プラズマとか、そんなものを想像すれば十分だろうと思う。

連続の式は次のようになる。

∂ρ∂t∼−ϵ−2∇⋅j.\begin{equation} \frac{\pt \rho}{\pt t} \sim - \epsilon^{-2} \nabla \cdot \vb{j}. \end{equation}

両辺が ϵ\epsilon の 2 乗だけずれているのが、まさしく Manfredi が磁気的極限の導出で行っていたことに直結する。Manfredi は ρ=ϵ2ρ2\rho = \epsilon^2 \rho_2 と取ることで言わばこの式を満たしていたと言えるだろう。一方でこれは ∇⋅j=O(ϵ2)\nabla \cdot \vb{j} = \mathcal{O}(\epsilon^2) とすることでも解決できて、この場合には j\vb{j} がベクトルであることによってもう少し面白いものが見えてくる。それは後に扱う。

電磁場、電荷、電流の変換

今回の方法で式を整理すると、低速で相対運動する系から見たときの電磁場、電荷密度、電流密度の変換も極めて容易に見て取れる。Lorentz 変換の低速での展開は

Ep′=Ep+Up×Bp+…,Bp′=Bp−1c2Up×Ep+…,ρp′=ρp−1c2Up⋅jp+…,jp′=jp−ρpUp+…\begin{gather} \vb{E}_{\text{p}}' = \vb{E}_{\text{p}} + \vb{U}_{\text{p}} \times \vb{B}_{\text{p}} + \ldots, \\ \vb{B}_{\text{p}}' = \vb{B}_{\text{p}} - \frac{1}{c^2} \vb{U}_{\text{p}} \times \vb{E}_{\text{p}} + \ldots, \\ \rho_{\text{p}}' = \rho_{\text{p}} - \frac{1}{c^2} \vb{U}_{\text{p}} \cdot \vb{j}_{\text{p}} + \ldots, \\ \vb{j}_{\text{p}}' = \vb{j}_{\text{p}} - \rho_{\text{p}} \vb{U}_{\text{p}} + \ldots \end{gather}

だった。ここで相対速度がやはり VV と同程度であるとし、また諸々の量はバー付きの値に対して同じオーダーだったことを思い出すと、各量の変化分は

δEpEp∼VBˉEˉ∼βξ∼ϵ1−xδBpBp∼1c2VEˉBˉ∼βξ∼ϵ1+xδρpρp∼1c2Vjˉρˉ∼βκ∼ϵ1+kδjpjp∼ρˉVjˉ∼βκ∼ϵ1−k\begin{gather} \frac{\delta E_{\text{p}}}{E_{\text{p}}} \sim \frac{V \bar{B}}{\bar{E}} \sim \frac{\beta}{\xi} \sim \epsilon^{1-x} \\ \frac{\delta B_{\text{p}}}{B_{\text{p}}} \sim \frac{1}{c^2} \frac{V \bar{E}}{\bar{B}} \sim \beta \xi \sim \epsilon^{1+x} \\ \frac{\delta \rho_{\text{p}}}{\rho_{\text{p}}} \sim \frac{1}{c^2} \frac{V \bar{j}}{\bar{\rho}} \sim \beta \kappa \sim \epsilon^{1+k} \\ \frac{\delta j_{\text{p}}}{j_{\text{p}}} \sim \frac{\bar{\rho} V}{\bar{j}} \sim \frac{\beta}{\kappa} \sim \epsilon^{1-k} \end{gather}

と整理できる。これと式 (80) と式 (82) および式 (85) と式 (87) を見比べると、電気的極限では k=1, x=−1k = 1, \ x = -1 を採用したのだから EE と ρ\rho の変化分は無視できて、一方の磁気的極限では k=−1, x=1k = -1, \ x = 1を採用したのだから BB と jj の変化分が無視できることになる。これは Manfredi の議論で得られた結果と全く整合的である。

結局のところ、本節冒頭の無次元化とその際に導入したパラメータの下で、電気的極限と磁気的極限は次の表 1 のようにまとめられると言える。

表 1
極限kkxx
電気的+1\phantom{+}1−1-1
磁気的−1-1+1\phantom{+}1

やったこと、やり残したこと

本記事では、まず Maxwell 方程式の 2 つの非相対論的極限（電気的極限、磁気的極限）について G. Manfredi (2013) の説明をまとめ、続いて Maxwell 方程式の非相対論的極限とはそもそもどういうことかを大雑把に述べ、その後 Manfredi の議論への私なりの不満を明確にして、それを踏まえた議論を行った。最終的には Maxwell 方程式の電気的極限と磁気的極限が κ\kappa (kk) と ξ\xi (xx) という 2 つの無次元パラメータのオーダーによって簡潔な形でまとめられた。

一方で本記事がやり残したことも多くある。列挙すると以下の通りである。

  • (k, x)=(±1, ∓1)(k, \ x) = (\pm 1, \ \mp 1) 以外の場合を扱わなかった。特に x=0x = 0 は自明な非相対論的極限9と言える極限になるのだが、これにも触れなかった。
  • 磁気的極限の小節で「∇⋅j=O(ϵ2)\nabla \cdot \vb{j} = \mathcal{O}(\epsilon^2) とすることでも解決できて」云々と書き、もう 1 つの極限について説明する気でいたのに、それをそのまま放ったらかしにした。
  • κ, ξ\kappa, \ \xi の説明をだいぶ雑に済ませて終えた。
  • 電流の項を O(1)\mathcal{O}(1) から外した場合の話をすっかり忘れた。
  • 電磁場および Maxwell 方程式を 4 元ポテンシャルで書いたときにこれらの極限がどうなるか、ということを説明しなかった。

私が意識していないだけでまだまだあるかもしれない。

これらがやり残しとなったのは別にこれらが極めて難しいからではなくて、単に私が疲れたからである。あと書いているマークダウンファイルの文量が増えすぎて見づらくなってしまったというのも理由だったりする。

そういう訳だから、上述の点は次回の記事に送ることにする。

参考文献

Kruger, S. E. (2019). The three quasistatic limits of the Maxwell equations. arXiv preprint arXiv:1909.11264.
Le Bellac, M., & Lévy-Leblond, J. M. (1973). Galilean electromagnetism. Il Nuovo Cimento B (1971-1996), 14(2), 217-234.
Manfredi, G. (2013). Non-relativistic limits of Maxwell’s equations. European Journal of Physics, 34(4), 859-871.

Footnotes

  1. ベクトル場の発散と回転が全域で消え、かつベクトル場の大きさが境界（無限遠）で 00 ならば、このベクトル場は全域で 0\vb{0} である。 ↩

  2. オーダーの記法は雑に使っているので何か間違いがあるかもしれない。 ↩

  3. これはちょうど理想電磁流体の方程式に現れる Maxwell 方程式と同じ形である。もちろん偶然ではない。このあたりのことは気が向いたら書くつもりでいる。 ↩

  4. Manfredi はここを省略している。見てわかる通り簡単なので。 ↩

  5. 別に 10 cm10 \, \mathrm{cm} とか 100 ms100 \, \mathrm{ms} とかにしても構わない。さほどの違いはない。 ↩

  6. この設定からわかるように、真空中の静電磁場を考える限り非相対論的な極限は存在し得ない。真空中では光速と異なる速さスケール、あるいはそれを生む時空間スケールが無いからである。 ↩

  7. 詳しくはやはり Manfredi を読んでもらうほか無い。その議論を一々ここで展開はしない。 ↩

  8. あとは κ\kappa の値に応じて 4 元電流が time-like か space-like かが決まる、ということも言えるだろうか。 ↩

  9. この名前は多分一般的ではない。 ↩